.. index:: algebra di Boole

.. _ref_algebra_di_Boole:

Algebra di Boole
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L'algebra booleana ha notevole importanza in diversi contesti ingegneristici
e matematici. Ad esempio nella progettazione di componenti elettronici 
digitali.

Per questo motivo la ribadiamo: un'algebra di Boole è un insieme *B* nel
quale sono definite due operazioni binarie: :math:`\wedge`, :math:`\vee`, 
e una operazione unaria. L'insieme contiene due elementi distinti: 0 e 1.

Nell'algebra di Boole valgono i seguenti assiomi rispetto le operazioni
predette:

1. proprietà commutativa per :math:`\wedge` e :math:`\vee`;
#. proprietà distributiva per :math:`\wedge` e :math:`\vee`;
#. esistenza dell'elemento neutro  per :math:`\wedge` e :math:`\vee`;
#. esistenza dell'elemento simmetrico  per :math:`\wedge` e :math:`\vee`.

.. note:: In modo formale: :math:`\forall x, y, z \in B`

   .. math::

       & 1)\; x \vee y = y \vee x  \\
       & 2)\; x \wedge y = y \wedge x \\
       & 3)\; x \wedge ( y \vee z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z) \\
       & 4)\; x \vee ( y \wedge z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z) \\
       & 5)\; x \vee 0 = x  \\
       & 6)\; x \wedge 1 = x \\
       & 7)\; x \vee x' = 1 \\
       & 8)\; x \wedge x' = 0

.. index:: proposizione duale

.. _ref_proposizione_duale:

Nell'algebra booleana, data una espressione (ovvero: proposizione) composta da elementi e operazioni su 
di essi, è sempre possibile scrivere la sua **proposizione duale**. Ovvero quella che
si ottiene sostituendo l'operazione :math:`\vee` con :math:`\wedge` e viceversa,
nonché l'elemento :math:`0` con :math:`1` e viceversa.

.. index:: legge di dualità

.. _ref_legge_di_dualità:

Vale la **legge di dualità**: se una proposizione è derivata dagli assiomi dell'algebra
booleana, anche la sua duale lo è.

Nell'algebra booleana si dimostrano le seguenti proprietà:

1. dato un elemento di *B* esiste il suo complementare ed è unico;
#. gli elementi :math:`0` e :math:`1` sono entrambi unici;
#. vale la proprietà di *idempotenza*:

   .. note:: Ovvero: :math:`x \wedge x = x` e :math:`x \vee x = x`
   

#. il simmetrico del simmetrico restituisce l'elemento di partenza;

   .. note:: Ovvero: :math:`(x')' = x`
   
#. lo *zero* è il risultato dell'operazione :math:`\wedge` per ogni elemento di 
   *B*; analogamento l'unità è il risultato dell'operazione :math:`\vee` per
   ogni elemento di *B*;

   .. note:: Ovvero: :math:`x \wedge 0 = 0` e :math:`x \vee 1 = 1`
   
#. esiste la proprietà di assorbimento delle operazioni;

   .. note:: Ovvero:
      
      .. math::
         
         & x \wedge (x \vee y) = x \\
         & x \vee (x \wedge y) = x 

#. l'uguaglianza dei risultati dell'operatore :math:`\wedge` implica l'uguaglianza
   degli operatori;
         
   .. note:: Ovvero:
      
      .. math::
         
         {y \wedge x = z \wedge x \\
          y \wedge x' = z \wedge x'} \Biggr\} \Longrightarrow y = z 

#. la proprietà associativa;

   .. note:: Ovvero:
      
      .. math::
         
          x \vee (y \vee z) = (x \vee y) \vee z \\
          x \wedge (y \wedge z) = (x \wedge y) \wedge z
          
#. la legge di Morgan;

   .. note:: Ovvero:
      
      .. math::
         
          (x \vee y)' = x' \wedge y' \\
          (x \wedge y)' = x' \vee y'

#. dalla legge di Morgan deriva la possibilità di passare da un operatore all'altro
   complementando la proposizione duale;

   .. note:: Ovvero:
      
      .. math::
         
          x \vee y = (x' \wedge y')' \\
          x \wedge y = (x' \vee y')'
   












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end