Resistori, Condensatori, Induttori

Resistori

Codice dei colori

Per i resistori a ossidi di carbone, la resistenza è stampigliata con 4 o 5 bande colorate.

Nel caso di 4 bande colorate, iniziando dalla banda più vicina al conduttore:

• le prime due sono le cifre del valore della resistenza,

• la terza banda è un moltiplicatore del valore predetto (x 10, x 100, …);

• la quarta banda indica la percentuale di tolleranza del valore indicato.

Nel caso di 5 bande, si ha a che fare con resistori la cui tolleranza è solitamente migliore, dell’ordine di pochi %. In tal caso:

• le prime tre sono le cifre del valore della resistenza,

• la quarta banda è un moltiplicatore del valore predetto (x 10, x 100, …);

• la quinta banda indica la percentuale di tolleranza del valore indicato.

I colori si interpretano come segue:

colore	valore	moltiplicatore	tolleranza
argentato	–	\(10^{-2}\)	\(\pm 10\%\)
dorato	–	\(10^{-1}\)	\(\pm 5\%\)
nero	0	\(1\)	–
marrone	1	\(10\)	\(\pm 1\%\)
rosso	2	\(10^{2}\)	\(\pm 2\%\)
arancione	3	\(10^{3}\)	–
giallo	4	\(10^{4}\)	–
verde	5	\(10^{5}\)	\(\pm 0.5\%\)
blu	6	\(10^{6}\)	\(\pm 0.25\%\)
viola	7	\(10^{7}\)	\(\pm 0.1\%\)
grigio	8	\(10^{8}\)	–
bianco	9	\(10^{9}\)	–
no codice	–	–	\(\pm 20\%\)

In alternativa è possibile trovare un codice stampigliato. In questo caso i numeri indicano il valore della resistenza. La lettera R indica la posizione del punto radice e l’unità di misura pari ad \(\Omega\). Se la misura è \(k\Omega\), vi è: K invece di R. Ed M in caso di \(M\Omega\). Infine le tolleranze sono:

• F 1%;

• G 2%;

• J 5%;

• K 10%;

• M 20%.

Ad esempio 4R7K indica \(4.7\,\Omega \pm 10\%\)

Legge di Ohm

Vale: \(I = \frac{V}{R}\), ovvero: \(V = R \cdot I\) etc.

Riguardo la potenza elettrica, abbiamo \(P = V \cdot I\).

Applicando la legge di Ohm otteniamo: \(P = (R \cdot I) \cdot I = R \cdot I^2\).

Oppure usando \(I = \frac{V}{R}\), abbiamo \(P = V \cdot (V / R) = \frac{V^2}{R}\)

Per power rating si intende la massima potenza che un componente può dissipare senza raggiungere una temperatura eccessiva. Nel caso di resistori, è proporzionale alla dimensione fisica del resistore.

Per l’energia abbiamo \(Energia = potenza \cdot tempo\). Unità di misura il Joule (J) inteso come \(J = W \cdot second\). Se la potenza è in KW e il tempo in ore abbiamo il kilowatt-ora (kWh).

Reti di resistenze in serie e parallelo

I resistori collegati in serie sono caratterizzati da una corrente unica, comune a tutti i resistori. Ad esempio secondo questo schema:

In questo caso le resistenze si sommano:

\[R_T = R_1 + R_2 + \cdots + R_n\]

Di conseguenza \(I_T = \frac{V_T}{R_T}\). Si noti: la corrente totale è unica per tutti. Quindi se si conosce questa si può calcolare qualunque \(V_x = R_x \cdot I_T\). Inoltre se si conosce una singola \(V_x\), si può calcolare la \(I_T = \frac{V_x}{R_x}\).

I resistori in serie sono utilizzati come divisori di voltaggio. Ad esempio con due resistori \(R_1\) e \(R_2\) in serie, abbiamo \(V_{2}=(\frac{R_2}{R_1+R_2}) \cdot V_{totale}\). Questo perché \(V_{2}= R_2 \cdot I\). Ma per la corrente nel circuito abbiamo \(I = \frac{V_{totale}}{R_{totale}} = \frac{V_{totale}}{R_1 + R_2}\). Sostituendo nella precedente: \(V_2=R_2 \cdot \frac{V_{totale}}{R_1+R_2} = \frac{R_2} {R_1 + R_2} \cdot V_{totale}\).

In generale:

\[V_i= \frac{R_i} {\sum_{i=0}^{n} R_i} \cdot V_{totale}\]

Nei circuiti di resistori in serie la potenza totale è la somma delle potenze dei singoli resistori. In equazione, questa affermazione vale: \(V_{totale} \cdot I = \sum_{i=0}^{n} {V_i \cdot I}\). Semplificando la I otteniamo:

\[V_{totale} = \sum_{i=0}^{n} {V_i}\]

[lezione del 15 ott 2019]

Quando i resistori sono collegati in parallelo, è la tensione ai capi delle resistenze ad essere in comune. Mentre la corrente si divide tra i diversi rami che formano il parallelo. Di seguito un esempio:

dove vale \(I = I_1 + I_2\). Usando la legge di Ohm: \(\frac {V}{R} = \frac {V_1}{R_1} + \frac {V_2}{R_2}\), dove \(V = V_1 = V_2\). Quindi possiamo semplificare le tensioni, ottenendo:

\[\frac {1}{R} = \frac {1}{R_1} + \frac {1}{R_2}\]

In generale: \(\frac {1}{R_{totale}} = \sum_{i=0}^{n} \frac {1}{R_i}\). Ovvero: nei circuiti in parallelo si sommano le conduttanze: \(G_T = G_1 + G_2 + \cdots + G_n\). In forma equivalente:

\[R = \frac {\prod R_i}{\sum R_i}\]

I resistori in parallelo permettono di costruire divisori di corrente. Infatti vale \(I_1 = \frac {V}{R_1}\). Ma la V vale \(V = \frac {I}{R_{totale}} = I \cdot (\frac {R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2})\). Sostituendo nella precedente abbiamo: \(I_1 = \frac {I \cdot (\frac {R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2})}{R_1} = \frac{I}{R_1} \cdot (\frac {R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2}) = \frac{R_2}{R_1+R_2} \cdot I\).

Questa ci evidenzia il fatto che, in generale, la \(I_i\) è una frazione della corrente totale, secondo il rapporto

\[I_i = (\frac{\prod_{ndx=1}^{i-1}R_{ndx} \cdot \prod_{ndx=i+1}^{n}R_{ndx}}{\sum_{ndx=1}^{n} R_{ndx}}) \cdot I\]

Condensatori e capacità

Un capacitore è un dispositivo utilizzato per immagazzinare un campo elettrico.

Ad esempio, con due piastre parallele cariche l’una positivamente e l’altra negativamente, un particella negativa presente tra le due piastre, sarebbe attratta dalla piastra carica positivamente. Viceversa una particella positiva.

Questa caratteristica dello spazio tra le due piastre è rappresentata con un campo elettrostatico: ogni punto dello spazio può esercitare una forza elettrostatica. I punti dello spazio che presentano le stesse caratteristiche di forza elettrostattica si dice che formano una linea di forza elettostatica.

Data una singola particella carica \(q_1\), esercita una forza elettrostatica su un’altra singola particella carica \(q_2\), distante d metri, secondo questa legge 1:

\[F = k \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{d^2}\]

La forza è attrattiva se le particelle hanno segno opposto, repulsiva nel caso contrario. In aria la costante k vale: \(k \approx 9 \cdot 10^9\).

Data la dimensione di k e la proporzionalità inversa con il quadrato della distanza d, si capisce che le forze elettrostatiche divengono rapidamente elevate quando le particelle si avvicinano.

La forza di un campo elettrico, detto gradiente del potenziale, si misura:

\[E = \frac{V}{d} \quad volt/metro\]

La proprietà di accumulare carica elettrica, e trattenerla, è detta capacità:

\[capacità \quad C = \frac{Q}{V} \quad farad (F)\]

Un condensatore è un dispositivo progettato per avere una determinata capacità.

I condensatori, analogamente alle resistenze, possono essere di tipo fisso o variabile.

Condensatori connessi in serie o in parallelo

Il comportamento di gruppi di condensatori è logicamente inverso rispetto a quanto osservato con le resistenze.

Le resistenze in serie si sommano per dare la resistenza totale. Invece nel caso di condensatori la capacità equivalente di condensatori in serie è inferiore alla capacità più piccola tra quelle collegate.

Questo è dovuto al fatto che fisicamente si ha un allontanamento complessivo delle piastre che formano i condensatori, portando ad una diminuzione della capacità. In questa configurazione la carica che si distribuice tra i diversi condensatori è la stessa per ogni condensatore.

D’altro canto avremo: \(V = V_1 + V_2\). Ricordando che vale \(V=\frac{Q}{C}\) abbiamo: \(\frac{Q}{C} = \frac{Q_1}{C_1} + \frac{Q_2}{C_2}\). Come detto le cariche dei diversi condensatori sono uguali. Quindi possiamo semplificare ottenendo \(\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\). In generale:

\[\begin{split}\begin{align} \frac{1}{C}& = \sum_{ndx=0}^{n} \frac{1}{C_{ndx}}\\ C& = \frac{\prod_{ndx=0}^{n} C_{ndx}}{\sum_{ndx=0}^{n} \frac{1}{C_{ndx}}} \end{align}\end{split}\]

Invece, nel caso di condensatori in parallelo, la tensione ai loro estremi sarà uguale per tutti, mentre la carica sarà diversa per ogni condensatore. Perciò \(Q_T = Q_1 + Q_2\). Sostituendo: \(C_T \cdot V_T = C_1 \cdot V_1 + C_2 \cdot V_2\). Abbiamo detto che le tensioni sono uguali, quindi possiamo semplificare: \(C_T = C_1 + C_2\). In generale:

\[C_T = \sum_{ndx=1}^{n} C_{ndx}\]

Costante di tempo RC

In generale un condensatore è sempre interfacciato alla tensione di alimentazione tramite una resistenza. Al limite quella, molto bassa, del conduttore di collegamento.

La presenza di una resistenza causa una opposizione alla corrente di carica del condensatore, introducendo tempi di carica misurabili (non nulli). Questo fenomeno è presente anche durante una eventuale fase di scarica del condensatore.

Studiando fisicamente il processo di carica di un condensatore con capacità C, inizialmente scarico, in serie ad un resistore con resistenza R, si osserva che la tensione ai capi del condensatore ha un andamento nel tempo che vale:

\[v_C = V \cdot ( 1 - e^{-\frac{t}{R \cdot C}})\]

ovvero parte da zero (condensatore scarico) per tendere asintoticamente alla tensione di carica V in tempo t infinito.

In pratica, dopo \(t = R\cdot C\) secondi dall’inizio della carica, il condensatore raggiunge il 63% della tensione finale. Mentre dopo \(t = 5 \cdot (R \cdot C)\) secondi, la tensione al condensatore ha raggiunto il 99% della tensione finale.

Il valore \(\tau = R \cdot C\) è detto costante di tempo del circuito RC.

Induttori

Un induttore è formato da un conduttore avvolto in spirali cilindriche, detto avvolgimento. La variazione del campo elettrico della corrente che percorre il filo crea un campo elettromagnetico.

Se l’intensità di corrente è costante, lo è anche il campo elettromagnetico. Se l’intensità di corrente varia, varia di conseguenza il campo elettromagnetico. La variazione del campo elettromagnetico induce una reazione nella corrente, che si oppone alla variazione della stessa. Questa proprietà è detta autoinduttanza, o, più genericamente, induttanza.

Unità di misura dell’induttanza è Henry (H). Una induttanza vale 1 H se cambiando la corrente con un rateo di \(1 \frac{A}{s}\) induce un campo elettrico di 1 V.

Come accade per la capacità, anche l’induzione è accompagnata sempre da una resistenza: la resistenza dell’avvolgimento (\(R_W\): windiwng resistance). Inoltre, in questo caso, esiste anche una capacità dovuta al fatto che le spire sono parallele una all’altra: la capacità dell’avvolgimento (\(C_W\): winding capacitance).

Quindi il circuito equivalente è dato da tre componenti: resistenza in serie alla induttanza, e in parallelo una capacità.

L’energia immagazzinata in un campo elettromagnetico generato da una induttanza vale:

\[W = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I^2\]

Induttanze in serie e in parallelo

Una induttanza in serie si comporta in modo analogo alle resistenze. Quindi:

\[L_T = \sum_{ndx=1}^{n} L_{ndx}\]

Mentre se gli induttori sono in parallelo, sempre analogamente ai resistori, si deduce:

\[L_T = \frac{1}{\sum_{ndx=1}^{n} \frac{1}{L_{ndx}}}\]

Costante di tempo RL

Il fatto che una induttanza si oppone alla variazione di corrente, implica che sarà necessario del tempo affinché una corrente variabile raggiunga il valore richiesto.

La velocità con cui varia la corrente è determinata dalla costante di tempo RL:

\[\tau = \frac{L}{R} \quad [s=\frac{H}{\Omega}]\]

Analogamente a quanto accade con la costante di tempo dei condensatori, anche in questo caso, applicando una tensione, in \(\tau\) secondi, la crescita di corrente 2 attraverso l’induttore sarà al 63% del valore finale. Mentre in \(5 \cdot \tau\) la variazione di corrente avrà raggiunto il 99% del valore finale.

Se invece si rimuove la sorgente di tensione, si ottiene l’equivalente della scarica del condensatore: la corrente nell’induttore decresce esponenzialmente, sempre con costante di tempo \(\tau\).

Attenzione a questi aspetti. Quando si devono gestire transitori di tensione, si utilizzano circuiti RC, ovvero condensatori. Ma se si devono ottenere transitori di corrente, allora si utilizzano circuiti RL, ovvero induttanze.

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1

Questa è detta legge di Coulomb, dal nome dello scopritore.

2

A differenza della carica del condensatore, qui abbiamo una variazione di corrente, non una variazione di tensione.