Correnti alternate, conversioni analogico digitali, filtri

Correnti alternate

La sorgente di tensione per un circuito può non essere costante. In questa condizione il circuito registrerà variazioni di corrente al variare della tensione.

L’andamento della tensione al variare del tempo può assumente forme diverse. Forme comuni sono: sinusolidale, rampa, triangolo, e altre funzioni.

Molto spesso l’andamento della tensione nel tempo è periodico. Si indica con T il periodo, in secondi, necessario alla tensione per compiere un ciclo completo e cominciare il successivo.

L’inverso del periodo \(f = \frac{1}{T} \; Hz\) è la frequenza. Si misura in Hertz, e indica il numero di cicli che la sorgente di tensione effettua in un secondo.

Con tensioni variabili nel tempo, la polarità della tensione può invertirsi. Ad esempio con onde sinusoidali, per metà del periodo la tensione sarà positiva rispetto lo zero, e per l’altra metà sarà negativa.

Sempre nel caso di onde sinusoidali, bastano due paramentri per caratterizzare la tensione: la frequenza 1 e il modulo della tensione massima, detto ampiezza, o tensione di picco: \(V_p\) (peak: picco).

Quando si fa riferimento ai valori istantanei di tensione o corrente, si usano le lettere minuscole: v ed i.

\(V_{pp}\) indica la tensione picco picco (peak to peak), che di solito è il doppio di \(V_p\).

Valore RMS

Per tensioni sinusoidali, un parametro di riferimento è il valore RMS: root mean square. Questo è definito come il valore di tensione in continua che produce sullo stesso resistore la stessa quantità di calore.

Il valore RMS è detto anche valore efficace. Si indica con \(V_{rms}\), e vale:

\[\begin{split}V_{rms} = 0,707 \cdot V_p\\ I_{rms} = 0,707 \cdot I_p\end{split}\]

Valore medio

Il valore medio di una sinusoidale sull’intero periodo è zero, in quanto il segnale positivo del primo semiperiodo, è bilanciato dal segnale negativo nel secondo semiperiodo.

Per questo motivo, il valore medio di tensioni sinusoidali è calcolato sul semiperiodo. Vale:

\[\begin{split}V_{avg} = 0,637 \cdot V_p\\ I_{avg} = 0,637 \cdot I_p\end{split}\]

Fase

La fase di un’onda sinusoidale indica di quale valore è traslata la posizione dell’onda rispetto un riferimento.

Quando vi è questo tipo di traslazione, si parla si slittamento della fase (phase shift).

Quando si analizza la fase di un’onda, l’ascissa non è il tempo, ma l’angolo. Tipicamente espresso in radianti.

Corrente

Come detto, al variare della tensione, varia la corrente. Se applichiamo una tensione sinusoidale su un cirsuito con un resistore, osserviamo di conseguenza una corrente sinusoidale, che al variare della polarità della tensione cambia il suo verso di scorrimento.

Circuito AC

In circuiti resistivi, la tensione totale è la somma delle tensioni sui singoli resistori in serie.

Per la potenza, si usano i valori RMS:

\[\begin{split}P = V_{rms} \cdot I_{rms}\\ P = \frac{V_{rms}^2}{R}\\ P = I_{rms}^2 \cdot R\end{split}\]

Sovrapposizione di correnti continue e alternate

Questo è un caso molto importante. Collegando una batteria in serie ad una sorgente in alternata, si ottiene una alimentazione alternata, il cui valore medio nel periodo è pari alla continua della batteria:

\[V = V_{ac} + V_{DC}\]

Onde impulsive

Un impulso è una tensione che sale istantaneamente ad un certo valore, lo mantiene per una quantità di tempo, detto durata dell’impulso, per poi secendere subitaneamente al livello di partenza.

Si può avere il comportamento inverso. Ovvero scendere ad una determinata tensione, per poi risalire al livello di partenza.

Un impulso ha un bordo d’attacco (leading edge) e un bordo posteriore (trailing edge), a volte indicati anche come rising edge e falling edge, a seconda stiano salendo o scendendo rispetto la tensione di partenza.

Nei casi reali i bordi non sono perfettamente verticali: la variazione di tensione (o corrente) richiede un certo tempo, anche se piccolo rispetto la durata dell’impulso.

Nei casi reali la durata dell’impulso è misurata a metà dell’ampiezza del segnale. Inoltre il tempo di salita (rise time) e quello di discesa (fall time) sono misurati analizzando il valore del segnale dal 10% al 90% della sua ampiezza.

I tempi di salita e discesa possono essere diversi tra loro, a seconda del tipo di generatore.

Impulsi ripetuti

Si possono inviare impulsi con una cadenza regolare. In tal caso si costruisce una forma d’onda periodica in cui il rateo di ripetizione degli impulsi è detto frequenza di ripetizione dell’impulso, ed è la frequenza della forma d’onda.

In questo caso è importante il ciclo di lavoro (duty cicle), cioè il rapporto tra durata dell’impulso (\(t_W\)) e il periodo della forma d’onda (\(T\)). Di solito questo è espresso come una percentuale:

\[\text{Percent duty cicle} = \left( \frac{t_W}{T} \right ) \cdot 100 \;%\]

Un duty cicle del 100% indica una alimentazione DC: l’impulso ha la durata pari al periodo dell’onda.

In generale, il valore medio dell’onda è:

\[\begin{split}V_{avg} = \text{baseline} + \text{duty cicle} \cdot \text{amplitude}\\ V_{avg} = \text{baseline} + \frac{t_W}{T} \cdot \text{amplitude}\end{split}\]

Onda quadra

Nel caso di onda quadra, abbiamo un’onda ad impulsi con duty cicle del 50%. Quindi la durata dell’impulso è la metà del periodo dell’onda.

In questo caso, dalla precedente otteniamo il valore medio:

\[V_{avg} = \text{baseline} + 0.5 \cdot \text{amplitude}\]

Onda triangolare

In questo caso abbiamo rampe che salgono e scendono con le stesse pendenze, arrivando a valori massimi e minimi con lo stesso modulo.

Se le pendenze di salita e discesa sono diverse, abbiamo le onde a dente di sega (sawtooth). Anche in questo caso i valori massimi e minimi sono uguali in modulo, ma sono diversi i tempi di salita e discesa.

Sia in questo caso che nel precedente si può valutare il periodo T dell’onda misurando il tempo tra due sommità adiacenti.

Si può spingere la forma d’onda verso l’alto o il basso, mettendo in serie una tensione continua (batteria).

Armoniche

Una forma d’onda periodic non sinusoidale, può essere scomposta in forme d’onda sinusoidali sommate tra loro.

Nel fare questa operazione si individua una forma d’onda sinusoidale con frequenza fondamentale, pari alla frequenza della forma d’onda originale, e una serie di forme d’onda sinusoidali armoniche a frequenze superiori, multipli della fondamentale.

Le armoniche possono essere dispari o pari. Nel caso di armoniche dispari, i multipli sono numeri dispari, mentre per le armoniche pari, i multipli sono numeri pari.

Ad esempio è possibile ottenere con approssimazioni sempre migliori una onda quadra sommando ad una sinusoidale fondamentale, un’armonica dispari del primo ordine, una del terzo, una del quinto, e così via.

Conversione analogico digitale

Un device che converte un valore analogico in digitale è un convertitore analogico digitale (analog to digital converter: **ADC*).

Usualmente questo componente è in serie ad un altro device: un campionatore con memoria (sample and hold) che è in grado, su comando, di congelare in output un valore analogico in input.

In pratica il sample and hold fissa il valore analogico per la durata di tempo necessaria al ADC per convertire il valore analogico in input in un valore digitale in output.

Il numero di bit utiizzati dal ADC per rappresentare il valore analogico in input può essere usato per esprimere la risoluzione del convertitore.

Un convertitore 4-bit può rappresentare \(2^{4} = 16\) valori, mentre un convertitore a 10-bit ne può rappresentare \(2^{10} = 1024\). A parità di segnale analogico in ingresso, maggiore è il numero di bit in uscita, migliore è la rappresentazione del segnale.

Campionamnto

Oltre la risoluzone, legata al numero di bit in uscita, è imortante anche la velocità di conversione.

Più il convertitore è veloce, maggiore è il numero di misure (campioni) prodotte per unità di tempo. E questo gli permette di riprodurre più accuratamente fenomeni variabili nel tempo.

Nyquist ha dimostrato che per riprodurre digitalmente un segnale, è necessario campionarlo con una frequenza pari almeno al doppio di quella più elevata che compone il segnale in input 2.

Errore di quantizzazione

Un ADC ha un tempo di cmpionamento minimo fnito. Perciò se al suo ingresso il segnale varia mentre è in corso la misurazione, il valore digitale in uscita deriva 3.

Per limitare questo fenomeno, è necessario bloccare il valore in input durante la misurazione. A questo scopo si utilizza a monte un circuito sample and hold.

Filtri

Un filtro ha l’obiettivo di ridurre il valore di tensione o corrente di parte del segnale trasmesso su una linea.

Un filtro passabanda lascia passare con poca attenuazione frequenze dentro un determinato intervallo. Mentre attenua fortemente le frequene al di fuori della banda predetta.

Esistono basilarmente quattro tipologie di filtri:

  • passa basso (low-pass),

  • passa alto (high-pass),

  • passa banda (band-pass),

  • elimina banda (band-stop).

Filtro passa basso

La versione più semplice è formata da schemi a T o a pi greco, che usano capacità per cortocircuitare le alte frequenze.

In pratica passano le frequenze da zero fino ad una frequenza di taglio \(f_c\) (cut-off frequency). Le frequenze oltre \(f_c\) vengono attenuate.

_images/low-pass_filter.svg

La frequenza di cut-off si calcola come:

\[f_c = \frac{1}{\pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\]

Per basse frequenze, l’impedenza del filtro è puramente resistiva, e vale:

\[R_0 = \sqrt{\frac{L}{C}}\]

\(R_0\) è detta impedenza nominale. Si ha il massimo trasferimento di potenza quando la resistenza in uscita al circuito uguaglia la resistenza nominale del circuito stesso 4.

Nello scegliere tra configurazione a T o pi greco, si consideri che la configurazione a T utilizza induttanze di valore inferiore. Nel caso di frequenze elevate, questo è un vantaggio: induttanze più alte controreagiscono più vigorosamente, dando luogo a problemi.

Filtro passa alto

Questi filtri hanno la configurazione duale dei passa basso: scambiando induttanze con le capacità e viceversa.

Il calcolo di frequenza di cut-off e impedenza nominale sono esattamente gli stessi.

Filtro passa banda

Questi filtri hanno due frequenze di cut-off:

  • \(f_{CH}\) cut-off del passa alto (high-pass);

  • \(f_{CL}\) cut-off del passa basso (low-pass);

e vale \(f_{CH} < f_{CL}\).

Le frequenze comprese tra questi due valori passano non attenuate, le altre vengono abbattute.

Si può pensare di ottenere un filtro passa banda collegando in serie due filtri: uno passa basso e l’altro passa alto.

Filtro elimina banda

Questi sono passabanda con logica invertita; in pratica vale \(f_{CL} < f_{CH}\).

In tal modo le frequenze che cadono nell’area tra \(f_{CL}\) e \(f_{CH}\) sono attenuate.


1

Oppure, equivalentemente, il periodo.

2

Ovvero si modifica mentre viene costruito, essendo il risultato di più valori analogici in input.

3

Ci ricordiamo la scomposizione in frequenza fondamentale ed armoniche?

4

Si veda wikipedia: massimo trasferimento di potenza.